Quaderno digitale

I passaggi per risolvere il cubo di un binomio.

Immagini via Wikipedia

Ecco 2 casi particolari di disequazioni con valore assoluto:

Primo caso

|f(x)| < k

Si risolve con questo sistema

f(x) < k

f(x) > -k

Secondo caso

|f(x)| > k

Si risolve con questo sistema

f(x) < -k U f(x) > k

Vedi come fare le disequazioni con modulo qui.

L’operazione di valore assoluto è univoca, cioè agisce su un’unica quantità. Tale operazione lascia invariato il segno delle quantità positive e non agisce sulle quantità nulle. Mentre cambia il segno delle quantità negative per renderle positive.

|+3| = +3

|-3| = +3

Se all’interno dei un valore assoluto è presente una quantità variabile (x) devo prima studiare il segno per capire quando lasciarla invariata e quando cambiarla di segno.

Quindi ogni quantità in modulo deve essere “sciolta”, cioè suddivisa in 2 o più sottocasi dopo aver studiato il segno dell’argomento del modulo.

| f(x) | < g(x)

M: | f(x) | >= 0

Provando con i numeri

|5x – 6| – x < 7

M: |5x -6| >= 0 (all’interno ci può assere anche una quantità nulla) ;

M: x >= 6/5

Se facciamo il grafico dei segni ricaviamo che da 6/5 in poi è positivo e dall’altra parte è negativo. Facciamo 2 sistemi, uno per ogni caso.

Caso 1: (troviamo le soluzioni positive)

x >= 6/5

5x – 6 -x < 7

Caso 2: (troviamo le soluzioni negative)

x < 6/5

- ( 5x – 6 ) -x < 7 (e continuare)

Unire poi le soluzioni. In questo caso – 1/6 < x < 13/4

Una disequazione si dice irrazionale quando presenta l’incognita sotto il segno della radice.

Indice dispari

Se l’indice della radice è dispari:

1. Si isola la radice al #1 membro
2. Elevo ambo i membri all’indice della radice semplificandola
3. Risolvo la disequazione

√f(x) + y > 2

√f(x) > 2 – y

f(x) > (2 – y)² (…)

Indice pari

Se l’indice della radice è pari abbiamo due tipologie:

• A) √f(x) > g(x)
• B) √f(x) < g(x)

Per risolvere A:

Impostato a sistema

f(x) >= 0 (affinchè ciò che è sotto radice sia maggiore uguale a zero)

g(x) < 0 (tutte le soluzioni con g(x) minore di zero)

Unito a

g(x) >= 0 (per trovare tutte le sue soluzioni >= 0)

f(x) > [g(x)]² (elevando entrami alla seconda affinchè f(x) sia maggiore di g(x) )

Per risolvere B:

Impostato a sistema

f(x) >= 0

g(x) > 0

f(x) < [g(2)]²

Non inseriamo anche g(x) < 0 rispetto a prima perchè √f(x) è sempre maggiore o uguale a zero.

• Le radici di indice pari non esistono se il radicando è negativo. (√-10).
• Le radici di indice pari se con radicando positivo hanno 2 risultati opposti.
• Le radici di indice dispari esistono sempre e danno un unico risultato con lo stesso segno del radicando.

Si ricordi che ogni radice con radicando nullo (√0) da risultato nullo (0).